数学院 · 判据层示范条目 主题线：线性代数 · 怎么算对 状态：✅ 已验证（标准定理）· 判据可被程序自动判定——数学学院的硬考核示范 说明：本条目示范 Doxa 判据层——每条知识配「可判定的对错标准」，人和 Agent 共用同一套验证方法
一、判据方法（怎么算对）
给定 n×n 方阵 A 与标量 λ，两条判据：
| 判据 | 数学表达 | 人怎么用 | Agent 怎么用 |
|---|---|---|---|
| 特征值 | λ 是 A 的特征值 ⟺ det(A − λI) = 0 | 手算行列式，看是否为零 | is_eigenvalue(A, λ)（符号/数值计算） |
| 特征向量 | 非零向量 v 是 λ 的特征向量 ⟺ Av = λv | 代入验证两边是否相等 | is_eigenvector(A, λ, v) |
两个要点：
- v ≠ 0 是隐含前提：零向量满足 Av = λv 但对任何 λ 都成立，不构成特征向量；
- λ = 0 的特殊含义：det(A − 0·I) = det A，所以 λ = 0 是特征值 ⟺ A 不可逆——这给出一个快速的现实判断：奇异矩阵必有零特征值。
二、示范习题（题目 + 标准答案 + 验证步骤）
判据的价值在于可判定：以下每道题都有唯一确定答案，且可被程序验证（数学院独有的硬考核优势）。
习题 1：判断特征值
设 A = [[2, 1], [1, 2]]。验证 λ₁ = 3 与 λ₂ = 1 是否为 A 的特征值。
标准答案：两者都是。
验证步骤： - λ = 3：det(A − 3I) = det([[-1, 1], [1, −1]]) = (−1)(−1) − (1)(1) = 0 ✅ - λ = 1：det(A − I) = det([[1, 1], [1, 1]]) = 1·1 − 1·1 = 0 ✅
习题 2：验证特征向量
承接习题 1。验证 v = [1, −1]ᵀ 是否为 A 的特征向量；若是，求对应特征值。
标准答案：是；对应 λ = 1。
验证步骤：Av = [[2,1],[1,2]]·[1,−1]ᵀ = [2·1 + 1·(−1), 1·1 + 2·(−1)]ᵀ = [1, −1]ᵀ = 1·v ✅（且 v ≠ 0）
习题 3：零特征值的快速判定
不展开计算，判定 λ = 0 是否为 A = [[2, 1], [1, 2]] 的特征值。
标准答案：不是。
验证步骤：det A = 2·2 − 1·1 = 3 ≠ 0 → A 可逆 → λ = 0 不是特征值（利用判据三）。
习题 4（进阶）：符号计算保证
对 3×3 矩阵 A = [[1, 2, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]，求全部特征值。
标准答案：λ ∈ {1, 2, 3}（上三角矩阵特征值 = 主对角线元素）。
验证步骤：det(A − λI) = (1−λ)(2−λ)(3−λ)，根为 1、2、3。可用 sympy 做符号验证，避免手算失误——这正是 Agent 在数学上的正确用法：调用符号计算工具保证推导，而不是凭记忆猜。
三、为什么这条是 Doxa 判据层的样板
- 可判定：每道题答案唯一、可程序验证——数学学院是整个 Doxa 里最容易做「硬考核」的领域；
- 人 Agent 共用：人用手算/心算，Agent 用
executable伪代码跑验证——同一套判据，两种执行； - 补 Agent 短板：大模型的数学"聪明"是模式匹配，不是可靠推理；判据层让它调用工具验证，而不是自信地给出错误答案；
- 示范复用：科学院（复现步骤）、商学院（案例决策）可仿照本条目建立各自判据。
来源
- Strang, Introduction to Linear Algebra, 5th ed., §6.1（特征值/特征向量定义与判定）——https://math.mit.edu/~gs/linearalgebra/
- 判据为线性代数标准定理（det(A − λI) = 0、Av = λv），不依赖单一来源
- 复核状态：✅ 标准定理，无事实性修正（2026-08-19）
整理：2026-08-19 · Doxa 判据层试点条目（数学院）· executable 字段首次落地示范