约前5世纪
已证明
$\sqrt{2}$ 的无理性
毕达哥拉斯学派
无理数的第一个证明
已证明
77 条难题23 已证明38 开放7 已证伪2 独立于 ZFC7 部分 / 争议
一、古典时代（古希腊及中国 · 公元前）
10 条
约前5世纪
已证伪
三等分任意角（尺规作图）
古希腊
Wantzel 1837 证不可能
不可能
约前5世纪
已证伪
化圆为方（尺规作图）
古希腊
$\pi$ 超越性（Lindemann 1882）
不可能
约前430
已证伪
倍立方体（尺规作图）
古希腊
Wantzel 1837 证不可能
不可能
约前300
已证明
平行公设问题
欧几里得
非欧几何（19 世纪）
已解决
约前300
已证明
尺规作正多边形
欧几里得
Gauss 1796 完全刻画
已解决
约前300
已证明
偶完全数 ↔ 梅森素数
欧几里得
Euclid-Euler 定理
已证明
约前300
开放
奇完全数是否存在
古典
至今未见一个奇完全数
开放
约前300
已证明
等周问题
古典
同周长圆面积最大
已解决
3-5世纪
已证明
中国剩余定理
《孙子算经》
古典已解，数论工具
已解决
二、17 世纪
5 条
1611
已证明
开普勒猜想（球体最密堆积）
开普勒
Hales 1998 计算机辅助；2017 形式化验证
已证明
1637
已证明
费马大定理
费马
Wiles 1994/1995
已证明
1640
开放
费马素数是否无穷多
费马
仅知 5 个费马素数
开放
1644
已证明
巴塞尔问题（$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$）
Mengoli
Euler 1735 解出
已解决
1644
开放
梅森素数是否无穷多
梅森
未解
开放
三、18 世纪
10 条
1719
开放
完美立方体
欧拉时代
边长 / 面对角线 / 体对角线全整数
开放
1735
开放
欧拉-马歇罗尼常数 γ 的有理性
欧拉
甚至不知 γ 是否无理
开放
1736
已证明
柯尼斯堡七桥问题
欧拉
不可行；催生图论
已解决
1742
开放
哥德巴赫猜想（强：偶 = 两素数）
哥德巴赫
陈景润 1966「1+2」最接近
开放
1742
已证明
哥德巴赫猜想（弱：奇 = 三素数）
哥德巴赫
Helfgott 2013
已证明
1769
已证伪
欧拉猜想
欧拉
1966 反例：$27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5$
已证伪
1770
已证明
华林问题
Waring
Hilbert 1909 证存在性
已证明
1770
已证明
四平方和定理
拉格朗日
任意自然数 = 四平方和
已证明
1792/98
已证明
素数定理
Gauss / Legendre
1896 Hadamard / Vallée Poussin
已证明
1798
开放
勒让德猜想
勒让德
$n^2$ 与 $(n+1)^2$ 间必有素数
开放
四、19 世纪
10 条
1844
已证明
卡塔兰猜想
卡塔兰
Mihăilescu 2002
已证明
1845
已证明
伯特兰假设
伯特兰
Chebyshev 1850
已证明
1849
开放
孪生素数猜想
de Polignac
张益唐 2013 有界间距
开放
1852
已证明
四色定理
Guthrie
Appel & Haken 1976 计算机证明
已证明
1867
开放
哈达玛矩阵存在性猜想
Sylvester / Hadamard
所有 4n 阶哈达玛矩阵是否存在
开放
1878
独立
连续统假设
康托
Gödel 1940 + Cohen 1963
独立于 ZFC
1884
开放
广义黎曼猜想（GRH）
Piltz 等
对 Dirichlet L 函数的推广
开放
1897
已证伪
Mertens 猜想
Mertens
Odlyzko & te Riele 1985
已证伪
1900
部分
希尔伯特 23 问
希尔伯特
H10 不可判定；CH 独立；黎曼等仍开放
部分解决
五、20 世纪
35 条
1900
开放
希尔伯特第 16 问题
希尔伯特
平面多项式系统极限环数
开放
1904
已证明
庞加莱猜想
庞加莱
Perelman 2003
已证明
1912
开放
兰道第四问题（n²+1 素数）
兰道
形如 $n^2+1$ 的素数是否无穷
开放
1913
已证明
卡尔森定理（Fourier 级数收敛）
Lusin 提出
Carleson 1966；调和分析里程碑
已证明
1917
部分
挂谷针问题 / 挂谷集猜想
挂谷宗一
旋转问题 1919 解；n=2（1971）、n=3（2025）已证，n≥4 开放
部分解决
1919
已证伪
波利亚猜想（$\pi(x)\le\mathrm{Li}(x)$）
波利亚
Haselgrove 1958 反例
已证伪
1927
开放
阿廷原根猜想
Artin
素数原根计数；GRH 下成立
开放
1929
开放
希尔伯特-史密斯猜想
Hilbert & Smith
p-进群作用；拓扑群问题
开放
1930
已证伪
Keller 立方体平铺猜想
Keller
2020 完全解决：维数 $d\le 7$ 成立、$d\ge 8$ 不成立
已证伪
1930
开放
拉姆齐数 R(5,5)
Ramsey
$43 \le R(5,5) \le 48$，精确值未知
开放
1937
开放
考拉兹猜想（$3n+1$）
科拉茨
大量数值验证无一反例
开放
1939
开放
雅可比猜想
雅可比
多项式单射是否有逆
开放
1940s
开放
不变子空间问题
—
泛函分析；非平凡不变闭子空间
开放
1948
开放
Erdős–Straus 猜想
Erdős & Straus
$\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$；埃及分数
开放
1950
部分
Hadwiger–Nelson 平面色数
Hadwiger & Nelson
5 ≤ χ ≤ 7，精确未知（2018 下界升到 5）
部分确定
1950
开放
霍奇猜想
霍奇
千禧年问题
开放
1950s
部分
亲吻数 / 高维球最密堆积
牛顿-格雷戈里
d=1-4、8、24 已解（2016）；其余开放
部分解决
1950s
独立
怀特海问题
怀特海
Shelah 1974
独立于 ZFC
1952
已证明
高斯类数问题
高斯
Heegner 1952（Stark 1967 补全）
已证明
1958
开放
吉尔布雷斯猜想
Gilbreath
未解
开放
1960
开放
向日葵猜想
Erdős & Rado
集合系；组合学经典
开放
1960s
开放
BSD 猜想
Birch & Swinnerton-Dyer
千禧年问题
开放
1960s
开放
Schanuel 猜想
Schanuel
超越数论核心
开放
1966
开放
搬沙发问题
Moser
精确最大值未知（下界 2.2195，1992）
开放
1967
开放
寂寞跑者猜想
Wills
数论 / 组合
开放
1970s
开放
限制性估计 / Bochner–Riesz 猜想
Fefferman 等
与挂谷相关；高维开放
开放
1971
开放
P vs NP
Cook
千禧年；计算机科学最重要问题
开放
1976
已证明
四色定理证明
Appel & Haken
首个主要计算机辅助证明
已证明
1978
部分
ζ(奇数) 的无理性
Apéry
$\zeta(3)$ 无理已证；$\zeta(5)$ 起开放
部分解决
1979
开放
Frankl 并集闭包猜想
Frankl
Gilmer 2022 熵方法下界 ~38.2%，未到 50%
开放
1980s
开放
芒德尔布罗集局部连通性（MLC）
Douady 等
分形 / 动力系统
开放
1982
已证明
瑟斯顿几何化猜想
瑟斯顿
Perelman 2003（含庞加莱）
已证明
1985
部分
ABC 猜想
Masser / Oesterlé
望月新一 2012 声称证明，未被公认
证明存争议
1993
开放
比尔猜想
Beal
悬赏 100 万美元
开放
1998
部分
斯梅尔问题（18 问）
Smale
含千禧年问题；多数开放
部分解决
六、千禧年七大难题（Clay 2000）
7 条
2000
已证明
庞加莱猜想
Clay 研究所
Perelman 2003（拒领奖金）
已证明
2000
开放
P vs NP
Clay 研究所
—
开放
2000
开放
纳维-斯托克斯方程
Clay 研究所
存在性与光滑性
开放
2000
开放
杨-米尔斯存在性与质量间隙
Clay 研究所
—
开放
2000
开放
霍奇猜想
Clay 研究所
—
开放
2000
开放
BSD 猜想
Clay 研究所
—
开放
说明：数学难题逐年涌现，「全部」无法穷尽；本页收全主流数学史公认的著名难题，更全清单见 Wikipedia「Unsolved problems in mathematics」「Hilbert's problems」「Millennium Prize Problems」。状态以 2026 年学界共识为准。