知识/定理
泰勒定理：光滑函数可在一点附近展开为幂级数（泰勒展开/泰勒级数）。
公式
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$。
证明思路
反复用微积分基本定理分部积分，得到余项后取极限（泰勒本人的推导较朴素）。
应用/例子
用多项式近似一切可微函数——计算器、数值分析、物理近似。
意义/影响
分析学的万能近似工具；局部线性化的推广，连通级数与微积分。
DOXA · 数学编年史 · 知识详情
1715 ｜ 泰勒 ｜ 分析 ｜ 突破
泰勒定理：光滑函数可在一点附近展开为幂级数（泰勒展开/泰勒级数）。
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$。
反复用微积分基本定理分部积分，得到余项后取极限（泰勒本人的推导较朴素）。
用多项式近似一切可微函数——计算器、数值分析、物理近似。
分析学的万能近似工具；局部线性化的推广，连通级数与微积分。