知识/定理
傅里叶 1807/1822《热的解析理论》：任意（分段连续）函数可展为三角级数（傅里叶级数），并给出傅里叶变换。
公式
$f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$；$a_n=\frac1\pi\int f(x)\cos nx\,dx$。
证明思路
把热传导方程分离变量，解为三角级数叠加；用积分求系数（傅里叶系数）。
应用/例子
信号处理、图像压缩（JPEG）、热传导、量子力学；一切「波」的数学。
意义/影响
函数概念被拓宽——不连续函数也可用级数表示，震动整个分析学界并推动严格化。