知识/定理
哥德尔（1931）不完备定理：任一包含算术的相容形式系统必有既不可证亦不可否的命题（不完备）；且不能证明自身一致性。
公式
$\text{Con}(T)\Rightarrow\text{NotComplete}(T)$；构造自指命题 $G$：「$G$ 不可证」。
证明思路
（编码+自指）把命题编码为数（哥德尔数），构造「说自身不可证」的命题，矛盾法。
应用/例子
证明论、计算机可计算性、人工智能「全能系统」的否定。
意义/影响
20 世纪数学哲学最大事件——「数学的完全自我证明」梦想终结。