数学院 · 学习板块基础条目 主题线：线性代数 · 是什么 状态：✅ 已验证（标准定义） 说明：判据条目
math-method-eigenvalue-verification的前置知识
一、是什么
行列式 det(A) 是定义在方阵上的一个标量，把矩阵映射为一个数。它对矩阵的可逆性给出单个数判据：
det(A) ≠ 0 ⟺ A 可逆（⟺ 列向量线性无关 ⟺ Ax = b 有唯一解）
二、计算规则
- 二阶：det([[a, b], [c, d]]) = ad − bc
- 三阶：按第一行展开（余子式法），或使用对角线法则
- 上三角矩阵：det = 主对角线元素之积（快速计算技巧）
- 性质：交换两行变号；某行乘 c 行列式乘 c；det(AB) = det(A)·det(B)；det(Aᵀ) = det(A)
三、与特征值的关系（判据层连接点）
特征方程 det(A − λI) = 0 的根就是 A 的特征值——这正是判据条目 math-method-eigenvalue-verification 的核心判据。特殊情形：λ = 0 时 det(A − 0·I) = det A，所以零特征值 ⟺ 奇异矩阵。
四、为什么重要
- 特征值、特征向量、可逆性判定的统一入口；
- 微积分中的雅可比行列式（变量替换积分）、多元函数极值判定（Hessian 行列式）；
- 计算量大时建议交给符号计算工具（sympy）——判据可判定，不必手算硬扛。
来源
- Strang, Introduction to Linear Algebra, 5th ed., §5.1–§5.2 —— https://math.mit.edu/~gs/linearalgebra/
- 复核状态：✅ 标准定义，无事实性修正（2026-08-19）
整理：2026-08-19 · Doxa 数学院学习板块首批概念条目