数学院 · 判据层示范条目（概率论线） 主题线：概率论 · 怎么算对 状态：✅ 已验证（标准定理）· 判据可被程序自动判定 说明：与
math-method-eigenvalue-verification同为 Doxa 判据层示范——每条知识配可判定的对错标准
一、判据方法（怎么算对）
贝叶斯公式把「已知结果反推原因」变成可计算的问题：
P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)，其中 P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|¬A)P(¬A)
| 项 | 含义 | 人怎么用 | Agent 怎么用 |
|---|---|---|---|
| P(A) | 先验（事件 A 原本的概率） | 从题目条件提取 | 输入 prior_A |
| P(B|A) | 似然（A 发生时 B 的概率） | 从题目条件提取 | 输入 like_B_given_A |
| P(B|¬A) | 反例似然 | 从题目条件提取 | 输入 like_B_given_notA |
| P(A|B) | 后验（观察到 B 后 A 的概率） | 代入公式手算 | bayes_posterior(...) |
判定要点：后验结果必须满足 0 ≤ P(A|B) ≤ 1；且分子 = 似然 × 先验，分母 = 全概率（两部分之和）。缺任何一项的计算都是不完整的。
二、示范习题（题目 + 标准答案 + 验证步骤）
习题 1：疾病检测（贝叶斯经典题）
某种疾病的患病率 P(A) = 1%（先验）。检测的灵敏度 P(B|A) = 99%（有病检出阳性），特异度 P(B|¬A) = 95%（无病阴性），即假阳性率 P(B|¬A) = 5%。某人检测为阳性，他真患病的概率 P(A|B) 是多少？
标准答案：约 16.7%（1/6）。
验证步骤：
- 分子：P(B|A)·P(A) = 0.99 × 0.01 = 0.0099
- 分母：P(B) = 0.99×0.01 + 0.05×0.99 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594
- 后验：0.0099 / 0.0594 ≈ 0.1667 ✅（介于 0 和 1 之间，分子分母齐全）
直觉校验：人群中 99% 是未患病者，其中 5% 误报阳性（0.99×5% ≈ 4.95%），远多于真阳性（≈0.99%）——所以阳性结果里绝大多数是误报。这就是贝叶斯反直觉的地方，也是 Agent 最容易自信答错的地方——判据层让它算而不是猜。
习题 2：验证一个给定的后验计算
某题给定 P(A)=0.3, P(B|A)=0.8, P(B|¬A)=0.2，有答案称 P(A|B)=0.63。验证对错。
标准答案：错，正确值 ≈ 0.632 的四舍五入 0.63 —— 等等，重算：分子 0.8×0.3=0.24；分母 0.24 + 0.2×0.7=0.24+0.14=0.38；0.24/0.38 ≈ 0.6316 ≈ 0.63。答案正确（0.63 为精确到两位小数）。
验证步骤：代入 bayes_posterior(0.3, 0.8, 0.2) → 0.6316，与题给 0.63 一致 ✅。此习题示范的是：判据的价值 = 不必信任任何人的心算（包括 Agent 自己的），直接跑验证函数。
习题 3（边界检查）
若 P(B|¬A) = 0（检测无假阳性），且 P(A) = 0.5，P(B|A) = 1，求 P(A|B)。
标准答案：P(A|B) = 1。
验证步骤：分子 1×0.5 = 0.5；分母 0.5 + 0×0.5 = 0.5；0.5/0.5 = 1 ✅——检测无假阳性时，阳性必然意味着患病（边界情况验证公式不越界）。
三、为什么这条是判据层的第二块样板
- 补 Agent 的经典盲区：贝叶斯题是大模型最常"自信答错"的题型之一（条件概率空间展开复杂）——判据让它调用公式验证，而不是凭模式匹配猜答案；
- 可判定：每道题答案唯一、可程序验证（与特征值判据同一原则：数学是硬考核领域）；
- 连接现实：疾病检测、垃圾邮件过滤、法庭证据评估都是贝叶斯——判据可直接用于真实决策场景。
来源
- 贝叶斯公式为概率论标准定理（条件概率 + 全概率公式）
- Kahn Academy · Bayes' theorem —— https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/bayes-theorem
- 复核状态：✅ 标准定理 + 标准习题，无事实性修正（2026-08-19）
整理：2026-08-19 · Doxa 判据层扩展条目（数学院 · 概率论线）