知识/定理
若 $p$ 为素数且 $a$ 不被 $p$ 整除，则 $a^{p-1}\equiv1\pmod p$。
公式
$a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}$（$p\nmid a$）。
证明思路
把 $a,2a,\dots,(p-1)a$ 模 $p$ 后仍遍历 $1,\dots,p-1$，相乘消去即得。
应用/例子
RSA 密钥、素性测试（费马测试）、现代密码学的基石。
意义/影响
数论从零散技巧走向系统性定理的早期里程碑。
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1640 ｜ 费马 ｜ 代数·数论 ｜ 突破
若 $p$ 为素数且 $a$ 不被 $p$ 整除，则 $a^{p-1}\equiv1\pmod p$。
$a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}$（$p\nmid a$）。
把 $a,2a,\dots,(p-1)a$ 模 $p$ 后仍遍历 $1,\dots,p-1$，相乘消去即得。
RSA 密钥、素性测试（费马测试）、现代密码学的基石。
数论从零散技巧走向系统性定理的早期里程碑。