知识/定理
欧拉 ζ 函数 $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$，并给出素数欧拉乘积；由此证明素数倒数和发散。
公式
$\zeta(s)=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}}$（素数乘积）；$\sum_{p}\frac1p$ 发散。
证明思路
算术基本定理把每个整数唯一分解为素数，级数因此展开为乘积。
应用/例子
黎曼猜想的研究对象；素数分布的核心工具。
意义/影响
解析数论的起点，建立素数（离散）与分析（连续）的桥梁。
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1737 ｜ 欧拉 ｜ 代数·数论 ｜ 突破
欧拉 ζ 函数 $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$，并给出素数欧拉乘积；由此证明素数倒数和发散。
$\zeta(s)=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}}$（素数乘积）；$\sum_{p}\frac1p$ 发散。
算术基本定理把每个整数唯一分解为素数，级数因此展开为乘积。
黎曼猜想的研究对象；素数分布的核心工具。
解析数论的起点，建立素数（离散）与分析（连续）的桥梁。