知识/定理
欧拉公式：复指数与三角函数统一，$e^{i\pi}+1=0$ 联结五个基本常数。
公式
$e^{ix}=\cos x+i\sin x$；取 $x=\pi$ 得 $e^{i\pi}+1=0$。
证明思路
把 $e^{ix}$、$\cos x$、$\sin x$ 的幂级数展开对照实部/虚部即得。
应用/例子
交流电路、信号处理（傅里叶变换）、量子力学波函数。
意义/影响
常被称为「最美的数学公式」；复分析的美学与实用巅峰。
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1740s ｜ 欧拉 ｜ 分析 ｜ 突破
欧拉公式：复指数与三角函数统一，$e^{i\pi}+1=0$ 联结五个基本常数。
$e^{ix}=\cos x+i\sin x$；取 $x=\pi$ 得 $e^{i\pi}+1=0$。
把 $e^{ix}$、$\cos x$、$\sin x$ 的幂级数展开对照实部/虚部即得。
交流电路、信号处理（傅里叶变换）、量子力学波函数。
常被称为「最美的数学公式」；复分析的美学与实用巅峰。