知识/定理
拉格朗日乘数法：约束下求极值——引入乘子把约束优化化为无约束。
公式
$\nabla f=\lambda\nabla g$（在约束 $g=0$ 下极值）。
证明思路
在约束曲面上极值点处，$f$ 的梯度必垂直于曲面（与 $g$ 梯度平行），故存在乘子 $\lambda$。
应用/例子
经济学效用最大化、工程最优化、机器学习约束正则化。
意义/影响
约束优化的标准方法；变分/最优化的基本工具。
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1780s ｜ 拉格朗日 ｜ 分析 ｜ 方法
拉格朗日乘数法：约束下求极值——引入乘子把约束优化化为无约束。
$\nabla f=\lambda\nabla g$（在约束 $g=0$ 下极值）。
在约束曲面上极值点处，$f$ 的梯度必垂直于曲面（与 $g$ 梯度平行），故存在乘子 $\lambda$。
经济学效用最大化、工程最优化、机器学习约束正则化。
约束优化的标准方法；变分/最优化的基本工具。