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庞加莱圆盘：双曲几何模型
知识/定理
罗巴切夫斯基 1826–29：否定平行公设可构造自洽的非欧几何——过直线外一点有无穷多条平行线（双曲几何）。
公式
曲率 $K=-1$ 的常负曲率空间；面积定理：双曲三角形面积 $=\pi-(\alpha+\beta+\gamma)$。
证明思路
用「平行角」函数 $\Pi(x)$ 建立与欧氏几何平行的整套定理，推导无矛盾。
应用/例子
相对论时空、双曲空间嵌入；机器学习的双曲嵌入模型。
意义/影响
突破「欧氏几何唯一真理」的千年信念；数学从「描述现实」转向「构建可能世界」。