知识/定理
伽罗瓦 1832：方程可用根式解 ⟺ 其伽罗瓦群可解；建立群与域扩张的联系（伽罗瓦理论）。
公式
方程可解 ⟺ $\mathrm{Gal}(E/F)$ 为可解群；$S_n$（$n\ge5$）不可解。
证明思路
把方程的根排列（置换）组成的群与该方程的对称性对应，用群的结构判定可解性。
应用/例子
尺规作图判定、多项式论、密码学、覆盖空间理论。
意义/影响
群论的创立；「对称性」成为现代数学的核心语言，20 岁决斗身亡前夜写下理论。
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1832 ｜ 伽罗瓦 ｜ 代数·数论 ｜ 突破
伽罗瓦 1832：方程可用根式解 ⟺ 其伽罗瓦群可解；建立群与域扩张的联系（伽罗瓦理论）。
方程可解 ⟺ $\mathrm{Gal}(E/F)$ 为可解群；$S_n$（$n\ge5$）不可解。
把方程的根排列（置换）组成的群与该方程的对称性对应，用群的结构判定可解性。
尺规作图判定、多项式论、密码学、覆盖空间理论。
群论的创立；「对称性」成为现代数学的核心语言，20 岁决斗身亡前夜写下理论。