知识/定理
黎曼 1854：任意维流形、度量张量 $ds^2=\sum g_{ij}dx^idx^j$、曲率——黎曼几何。
公式
$ds^2=g_{ij}dx^idx^j$；高斯曲率推广到任意维的黎曼曲率张量。
证明思路
把「几何」定义为流形上度量场，曲率决定几何类型（正/零/负曲率三种几何）。
应用/例子
广义相对论（爱因斯坦场方程的时空几何）、微分几何、弦论。
意义/影响
几何从「平面的科学」变为「空间的科学」；为相对论准备好语言。
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1854 ｜ 黎曼 ｜ 几何·拓扑 ｜ 突破
黎曼 1854：任意维流形、度量张量 $ds^2=\sum g_{ij}dx^idx^j$、曲率——黎曼几何。
$ds^2=g_{ij}dx^idx^j$；高斯曲率推广到任意维的黎曼曲率张量。
把「几何」定义为流形上度量场，曲率决定几何类型（正/零/负曲率三种几何）。
广义相对论（爱因斯坦场方程的时空几何）、微分几何、弦论。
几何从「平面的科学」变为「空间的科学」；为相对论准备好语言。