知识/定理
黎曼 1859《论小于给定数的素数个数》：把 ζ 函数解析延拓到全复平面，提出黎曼猜想——ζ 的非平凡零点全部在临界线 $\Re(s)=1/2$。
公式
$\zeta(s)$ 解析延拓；$\pi(x)=\operatorname{Li}(x)+\text{(零点修正项)}$；猜想 $\rho:\zeta(\rho)=0\Rightarrow\Re(\rho)=\frac12$。
证明思路
用欧拉乘积与围道积分建立素数与 ζ 零点的联系——零点分布决定素数分布。
应用/例子
素数分布的最精确估计；整个现代数论的地基。
意义/影响
千禧年七大难题之一，未解；概念科普→，数学最深开放问题。