知识/定理
$\sqrt{2}$ 无理：不存在整数 $p,q$ 使 $\sqrt{2}=p/q$，即等腰直角三角形斜边与腰不可通约。
公式
$(\frac{p}{q})^2=2$ 无整数解（$p,q$ 互素）。
证明思路
反证法（归谬）：设 $\sqrt{2}=p/q$ 为最简分数 ⇒ $p^2=2q^2$ ⇒ $p$ 为偶、$p=2k$ ⇒ $2k^2=q^2$ ⇒ $q$ 也为偶，与 $p,q$ 互素矛盾。
应用/例子
正方形对角线长度不可度量；几何作图中存在不可公度的量。
意义/影响
动摇了「万物皆数（皆整数比）」的信念，引发数学史上第一次基础危机，倒逼欧多克索斯比例论与穷竭法。